Conoscenza di elementi di teoria astratta dell’integrazione e studio degli spazi Lp.
Prerequisiti
Successioni e serie di funzioni, elementi di topologia generale, teoria della misura di Lebesgue, elementi di base della teoria astratta della misura e teoria degli spazi normati.
Integrazione in uno spazio di misura: integrale delle funzioni elementari, integrale delle funzioni misurabili e non negative, teorema di Beppo Levi, funzioni μ-quasi-integrabili e loro integrale, funzioni μ-integrabili, proprietà verificate μ-quasi-ovunque, integrale delle funzioni definite μ-quasi-ovunque.
Integrazione rispetto ad una misura prodotto: prodotto di σ-algebre, prodotto di misure σ-finite, teorema di Tonelli, teorema di Fubini, teoremi di Tonelli e di Fubini per la misura di Lebesgue m_p+q.
Gli spazi L^p: funzioni numeriche μ-integrabili con l’esponente p, disuguaglianze di Hölder e di Minkowski, spazio semimetrico L^p (0< p <+∞), spazio L^∞, completezza di L^∞, inclusioni tra spazi L^p, disuguaglianze di Clarkson, duale topologico degli spazi L^p per 1≤p≤∞, riflessività degli spazi L^p per 1≤p≤∞, separabilità degli spazi L^p per 1≤p≤∞.
Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili: lemma di Fatou, convergenza μ-quasi-ovunque, convergenza in media di ordine p, teorema della convergenza dominata, completezza di L^p (0< p <+∞), convergenza μ-quasi-uniforme, teorema di Severini-Egorov, convergenza in misura, criterio di Weyl-Riesz per la convergenza in misura.
Misure con densità: misure con segno munite di densità rispetto ad una misura μ, misure con segno assolutamente continue rispetto ad una misura μ, assoluta continuità nel senso di Vitali e nel senso di Caccioppoli, teorema di Radon-Nykodym.
Il teorema di Vitali: equi-assoluta continuità secondo Vitali e secondo Caccioppoli, teorema di Vitali sulla convergenza in media di ordine p.