Acquisizione degli strumenti e dei risultati fondamentali della teoria degli operatori compatti e dei metodi variazionali con applicazioni alle equazioni differenziali.
Prerequisiti
Conoscenze di analisi matematica con particolare riferimento a: successioni e serie di funzioni, topologia generale, teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue, teoria degli spazi normati, equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.
Metodi Didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni
Verifica Apprendimento
La verifica dell'apprendimento consiste in una singola prova orale. Principali elementi di valutazione sono i seguenti: padronanza dei contenuti, chiarezza e rigore nell'esposizione, capacità di applicazione delle conoscenze acquisite.
1) DISEQUAZIONI VARIAZIONALI. Generalità sulle disequazioni variazionali. Teorema di Stampacchia. Teorema di Lax-Milgram. 2) OPERATORI COMPATTI E DECOMPOSIZIONE SPETTRALE. Lemma di Riesz. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato. Supplementari topologici ed esempi notevoli. Ortogonalità negli spazi di Banach. Operatori lineari non limitati. Nucleo, rango e grafico di un operatore. Aggiunto di un operatore e sue proprietà. Operatori compatti. Teorema di Schauder sull’operatore aggiunto. La teoria di Riesz-Fredholm. Risolvente, spettro e autovalori di un operatore. Spettro di un operatore compatto. Operatori lineari autoaggiunti su spazi di Hilbert. Operatori simmetrici. Decomposizione spettrale degli operatori compatti autoaggiunti su spazi di Hilbert. 3) SPAZI DI SOBOLEV E FORMULAZIONE VARIAZIONALE DI PROBLEMI AI LIMITI. Introduzione ai metodi variazionali. Motivazioni della formulazione variazionale di un problema differenziale. Funzionale dell’energia. Derivabilità nel senso di Gâteaux e nel senso di Fréchet. Immersioni tra spazi normati. Funzioni coercive. Esistenza di minimi globali: teorema dei metodi diretti del Calcolo delle Variazioni. Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di un problema ordinario ai limiti. Lo spazio di Sobolev W^1,p(]a,b[). Completezza, riflessività e separabilità di W^1,p(]a,b[). Spazio delle funzioni Hölderiane. Teoremi di immersione. Lo spazio W_0^1,p(]a,b[). Disuguaglianza di Poincaré. Studio di un problema ordinario ai limiti del secondo ordine. Gli spazi di Sobolev W^1,p e W_0^1,p in dimensione n: completezza, riflessività, separabilità e immersioni. Esistenza di altri punti critici. Condizione di Palais-Smale. Lemma di deformazione. Teorema di passo di montagna. Applicazione del teorema dei metodi diretti e del passo di montagna nello studio di un problema al contorno per equazioni del secondo ordine.