Acquisizione dei metodi e delle tecniche della geometria combinatoria attraverso lo studio di strutture finite.
Prerequisiti
Conoscenze di base di teoria dei gruppi, teoria dei campi, algebra lineare e geometria analitica.
Metodi Didattici
Lezioni frontali ed esercizi. Le attività saranno svolte con il supporto di slide.
Verifica Apprendimento
Esame orale che consiste in domande relative alle teorie presentate durante le lezioni ed è volto ad accertare il raggiungimento degli obiettivi del corso e la capacità di esporre gli argomenti mediante l’uso di un linguaggio appropriato.
Testi
- Giuseppe Tallini, Lezioni di Geometria Combinatoria, Pitagora - Francesco Mazzocca, Note di geometria combinatoria, Ilmiolibro self publishing - M. Gionfriddo, L. Milazzo, V. Voloshin, Hypergraphs and Designs, Nova Science Publishers - Dispense fornite dal docente
Contenuti
Definizione di spazio geometrico. Isomorfismi tra spazi geometrici. Gruppo strutturale di uno spazio geometrico. Spazi geometrici composti. Spazi geometrici equivalenti. Spazi vettoriali su un campo K: applicazioni semilineari e isomorfismi geometrici tra spazi vettoriali. Spazi proiettivi: isomorfismi tra spazi proiettivi e loro caratterizzazione. Lo spazio proiettivo numerico di dimensione r su K, P(r, K). Gruppo delle collineazioni e gruppo delle proiettività di P(r, K). Costruzione dello spazio affine A(r, K) a partire da P(r, K). Gruppo delle collineazioni e gruppo delle affinità di A(r, K). Spazi di Galois: PG(r,q) e AG(r,q). Numero di punti di un sottospazio d-dimensionale di PG(r,q) (AG(r,q)); numero di sottospazi d-dimensionali di PG(r,q) (AG(r,q)); numero di sottospazi k-dimensionali di PG(r,q) (AG(r,q)) passanti per un fissato sottospazio h-dimensionale di PG(r,q) (rispettivamente, AG(r,q)). Disegni combinatori: definizioni e concetti base. Piani proiettivi e piani affini di ordine n. Contrazione ed estensione di un disegno. Condizioni necessarie per l’esistenza di un disegno. Matrice di incidenza di un disegno. Diseguaglianza di Fisher. Residuo di un disegno. Complementare di un disegno. Disegno duale. Composizione di disegni. Insiemi di differenze e famiglie di differenze. Teorema di Paley. Famiglie di differenze relative. Costruzione di disegni con il metodo delle differenze. Famiglie di differenze miste. Costruzione di Bose. Disegni simmetrici. Esistenza di un piano proiettivo di ordine n: teorema di Bruck-Ryser-Chowla e corollari. Quadrati latini. Quadrati latini ortogonali. Sistemi completi di quadrati latini mutualmente ortogonali (MOLS). MOLS e piani finiti. Sistemi di Steiner. G-decomposizioni.