Conoscenza di metodi e tecniche per lo studio qualitativo e quantitativo di sistemi dinamici lineari e non lineari continui e di mappe discrete. Conoscenza dell'uso di sistemi di calcolo scientifico.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale di funzioni di variabili reali, algebra lineare, strutture algebriche.
Metodi Didattici
Lezioni teoriche ed esercitazioni con l'ausilio di strumenti software di calcolo scientifico.
Verifica Apprendimento
Stesura di una tesina su argomenti assegnati dal docente accompagnata da un esame orale.
Testi
1) M. W. Hisrsh, S. Smale, R. L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd edition, Academic Press, 2013.
2) F. Oliveri. Sistemi dinamici. Draft book.
Contenuti
Sistemi di equazioni differenziali lineari. Richiami di algebra lineare di base: matrici e operatori, sottospazi, basi e dimensione, cambiamenti di basi e coordinate. Spazi vettoriali complessi. Operatori reali con autovalori complessi. Riassunto della topologia di R^n. Esponenziale di operatori. Sistemi lineari omogenei. Sistemi non omogenei. La decomposizione primaria. La decomposizione S+N. Calcolo diretto di exp(At). Decomposizione canonica ed equazioni differenziali. Operatori contrattivi ed espansivi. Pozzi e sorgenti. Flussi iperbolici. Esistenza e unicità della soluzione. Continuità delle soluzioni dai dati iniziali. Continuazione delle soluzioni. Stabilità dei punti di equilibrio. Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio. Pozzi non lineari. Stabilità. Funzione di Liapunov. Equazioni differenziali con autovalori reali e distinti. Autovalori complessi. Autospazi e varietà invarianti. Costruzione analitica delle varietà stabile e instabile. Biforcazioni dei sistemi continui. Biforcazioni dei punti fissi. Biforcazioni statiche. Biforcazione di Hopf. Forme normali per le biforcazioni. Riduzione sulla varietà centrale. Equazioni differenziali dei circuiti elettrici. Equazione di Van der Pol. Metodi asintotici: Poincaré, Lindstedt, scale multiple. Soluzioni periodiche. Teoria di Floquet. Varietà delle soluzioni periodiche. Mappe di Poincaré. Biforcazioni delle soluzioni periodiche. Biforcazione per rottura di simmetria. Biforcazione ciclica ripiegata. Biforcazione transcritica. Biforcazione di raddoppio del periodo. Biforcazione di Hopf secondaria o di Neimark. Sistemi dinamici discreti. Punti fissi, orbite periodiche e loro stabilità. Soluzioni caotiche.Mappe Unidimensionali. Esponente di Liapunov in una dimensione. Mappa logistica. Mappe bidimensionali. Mappa di Henon. Esponenti di Liapunov di mappe discrete. Calcolo numerico degli esponenti di Liapunov. I sistemi di Lorenz, Rossler e Chua. Esponenti di Liapunov dei sistemi continui.