Conoscenza delle trasformate di Fourier e di Laplace e delle loro principali proprietà e applicazioni. Distribuzioni e calcolo della trasformata di Fourier di una distribuzione temperata.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una o più variabili reali, successioni e serie di funzioni, campo dei numeri complessi, misura di Lebesgue.
Testi
G. Di Fazio, M. Frasca, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Monduzzi Editore.
Contenuti
Richiami di Analisi Complessa. Trasformata di Fourier: La trasformata di Fourier di una funzione sommabile. Uniforme continuità della trasformata di Fourier. Teorema di Riemann-Lebesgue. Proprietà della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier e derivazione. Convoluzione. Formula di moltiplicazione. Teoremi di inversione. Identità di Parseval. Trasformata di Laplace: Trasformabilità e assoluta trasformabilità secondo Laplace in un punto di funzioni localmente sommabili. Definizione di trasformata di Laplace in un punto. Proprietà della trasformata di Laplace. Olomorfia della trasformata di Laplace. Teorema sulla convoluzione e sue conseguenze. Teorema del valore iniziale. Teorema del valore finale. Il problema dell’antitrasformazione. Applicazioni della trasformata di Laplace alle equazioni ed ai sistemi di equazioni differenziali lineari ordinarie. Distribuzioni: Lo spazio D delle funzioni test. Lo spazio S di Schwartz. Lo spazio E. Immersione di D in S e di D in E. Densità di D in E. Lo spazio D' delle distribuzioni. Distribuzioni funzione. Il delta di Dirac. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Distribuzioni misura. Derivata di una distribuzione. Lo spazio S' delle distribuzioni temperate. Il duale E' dello spazio E. Convoluzione tra distribuzioni. Le trasformate di Fourier e di Laplace nell’ambito delle distribuzioni.