Conoscenza dei concetti principali dell'Algebra Commutativa e dei metodi dell'Algebra Omologica
Prerequisiti
Conoscenze acquisite nei corsi istituzionali di Algebra di un corso di laurea della classe L-35.
Testi
1. W. Bruns, J. Herzog. Cohen Macaulay Rings, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1993.
2. A. Chambert-Loir. (Mostly) Commutative Algebra, Universitext, 2021.
3. R.Y. Sharp, Steps in commutative algebra, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
4. R. Utano, Note del corso di Algebra Superiore, A.A. 2022-23
5. A. Bandini - P. Gianni - E. Sbarra, Esercizi di Algebra Commutativa, Pisa University Press, 2023
Contenuti
Modulo B: Richiami su: Anelli, omomorfismi tra anelli, teoremi di isomorfismo. Operazioni tra ideali: somma, prodotto, intersezione, radicale, divisione, caso degli ideali monomiali. Ideali primi, ideali massimali, relazioni tra essi, anelli locali, anelli semilocali, nilradicale e radicale di Jacobson: definizione e caratterizzazione. Estensione e contrazione di ideali rispetto ad omomorfismi.
Anelli di frazioni e moduli di frazioni. Estensione e contrazione di ideali rispetto alla formazione di anelli di frazioni; ideali primi in un anello di frazioni, localizzazione e quoziente e loro commutabilità, proprietà locali.
DECOMPOSIZIONE PRIMARIA Ideali primari, decomposizioni primarie e decomposizioni primarie minimali di un ideale, il radicale di un ideale primario è primo, un ideale avente radicale massimale è primario, l'intersezione di ideali p-primari è un ideale p-primario, divisione di un ideale primario per un ideale principale. Teoremi di unicità per le decomposizioni primarie minimali di un ideale: unicità e caratterizzazione dei primi associati ad una decomposizione primaria minimale, primi associati ad un ideale, primi minimali e primi immersi, ideali primari e formazione di frazioni, unicità delle componenti primarie isolate.
MODULI E ANELLI NOETHERIANI E ARTINIANI Condizioni sulle catene (ascendenti, discendenti, finite) in un insieme ordinato, moduli noetheriani e moduli artiniani, anelli noetheriani e anelli artiniani; esempi e controesempi, noetherianità, artinianità e successioni esatte, serie di composizione, le serie di composizione di un modulo hanno la stessa lunghezza, additività della funzione lunghezza, lunghezza finita = noetherianità + artinianità, rapporto tra dimensione, lunghezza, noetherianità e artinianità di uno spazio vettoriale, noetherianità e finitezza dei sottomoduli. Noetheriano <=> artininano (per anelli) se esiste un numero finito di ideali massimali il cui prodotto è zero, in un anello noetheriano ogni ideale contiene una potenza del suo radicale, il nilradicale di un anello noetheriano è nilpotente, teorema dell’intersezione di Krull (solo enunciato), ogni dominio artiniano è un campo, proprietà degli ideali primi e del nilradicale in un anello artiniano. Teorema della Base di Hilbert. Ideali irriducibili, decomposizione in irriducibili negli anelli noetheriani, irriducibile => primario negli anelli noetheriani, esistenza di decomposizioni primarie minimali negli anelli noetheriani, l’unione dei primi associati all’ideale nullo è l’insieme dei divisori dello zero. Ogni anello artiniano è semilocale, caratterizzazione degli anelli artiniani: A artiniano <=> A noetheriano e ogni primo è massimale. Decomposizioni primarie di ideali monomiali in anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate.
TEORIA DELLA DIMENSIONE Altezza di un ideale, caso dei domini ad ideali principali, teorema dell’ideale principale di Krull, caso degli anelli locali.