Conoscenza della teoria dei gruppi di Lie di trasformazioni e della loro generalizzazione per lo studio di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Conoscenza dell'uso di sistemi di calcolo scientifico simbolico.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale di funzioni di variabili reali, algebra lineare, strutture algebriche.
Metodi Didattici
Lezioni teoriche ed esercitazioni con l'ausilio di strumenti simbolici di calcolo scientifico.
Verifica Apprendimento
Stesura di una tesina su argomenti assegnati dal docente accompagnata da un esame orale.
Testi
1) G. W. Bluman, S. Kumei. Symmetries and differential equations. Springer, New York, 1989.
2) P. J. Olver. Applications of Lie groups to differential equations. Springer, New York, 1986.
3) F. Oliveri. Lie symmetries of differential equations: theory, applications and symbolic computation. Draft book.
Contenuti
Gruppi continui di trasformazioni. Algebre di Lie. Algebre abeliane, risolvibili, semisemplici. Sottoalgebre di Lie. Gruppi di trasformazioni infinitesime. Operatori infinitesimi. Teoremi fondamentali di Lie. Equazioni di Lie. Invarianti, variabili canoniche. Teoria geometrica delle equazioni differenziali. Richiami di geometria differenziale. Varietà differenziabili. Spazio dei getti. Simmetrie di Lie di equazioni differenziali. Prolungamento dei gruppi di Lie. Algoritmo di Lie. Invarianti differenziali. Simmetrie di Lie ed equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine. Determinazione del fattore integrante. Equazioni differenziali di ordine superiore. Determinazione delle simmetrie. Struttura dell'algebra delle simmetrie. Abbassamento dell'ordine con le variabili canoniche e con gli invarianti differenziali. Esempi e applicazioni. Determinazione delle simmetrie di Lie per equazioni a derivate parziali. Condizioni di superficie invariante. Soluzioni invarianti. Esempi ed applicazioni (equazioni lineari e non lineari delle onde e del calore, equazioni di Eulero della gas-dinamica, equazioni della magnetofluidodinamica, equazioni di Burgers, Korteweg-deVries e generalizzazioni). Trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in forma autonoma, lineare, in forma autonoma e quasilineare omogenea. Principali teoremi ed applicazioni. Simmetrie non classiche e condizionali: teoria ed applicazioni. Simmetrie variazionali: teorema di Noether. Trasformazioni di equivalenza. Software di calcolo simbolico per lo studio delle simmetrie di Lie di equazioni differenziali.