Conoscenza degli elementi fondamentali di: spazi vettoriali topologici, analisi multivoca, teoria delle funzioni assolutamente continue e a variazione limitata, soluzioni generalizzate per equazioni differenziali ordinarie, equazioni integrali. Acquisizione delle relative abilità di calcolo.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, successioni e serie di funzioni, topologia generale, spazi metrici, teoria della misura e dell’integrazione nel senso di Lebesgue, teoria degli spazi normati.
Testi
DISPENSE FORNITE DAL DOCENTE.
Contenuti
SUCCESSIONI GENERALIZZATE: Successioni generalizzate. Caratterizzazioni degli insiemi chiusi e della continuità. Varie caratterizzazioni della compattezza Cenni su spazi vettoriali spazi vettoriali topologici e sugli spazi vettoriali topologici localmente convessi.
IL TEOREMA DI ASCOLI ARZELA': Lo spazio metrico L°(X,Y) delle funzioni limitate. Funzioni totalmente limitate e le funzioni equi-totalmente limitate. Criterio di totale limitatezza in L°(X,Y). Funzioni equicontinue e funzioni equi-uniformemente continue. Teorema di Cantor generalizzato. Completezza di L°(X,Y) e C°(X,Y). Teorema di Ascoli-Arzelà e sue applicazioni.
FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA (VL): Variazione totale di una funzione. Funzioni a variazione limitata. Monotonia ed additività della variazione totale. Operazioni con le funzioni a variazione limitata. Rappresentazione di una funzione VL come differenza di funzioni monotone. Derivabilità q.o. di una funzione VL, e sommabilità della derivata. Limitatezza, misurabilità e sommabilità di una funzione VL. Insieme delle discontinuità di una funzione VL. Continuità della variazione totale di funzioni continue a VL.
FUNZIONI ASSOLUTAMENTE CONTINUE (AC): Funzioni assolutamente continue. Uniforme continuità e variazione limitata di una funzione AC. Continuità assoluta della funzione integrale di una funzione sommabile. Derivata della funzione integrale di una funzione sommabile. Funzioni AC con derivata quasi ovunque nulla. Formula di Newton-Leibniz.
SOLUZIONI GENERALIZZATE DI EDO ORDINARIE DEL 1 ORDINE IN FORMA NORMALE: Definitione di soluzione generalizzata. Funzioni di Caratheodory. Teorema di Caratheodory.
ANALISI MULTIVOCA: Multifunzioni. Semicontinuità inferiore e superiore di una multifunzione, e loro caratterizzazioni. Multifunzioni continue e loro caratterizzazioni. Multifunzioni con grafico chiuso. Immagine di uno spazio topologico compatto e di uno spazio topologico connesso. Selezioni di una multifunzione. Teorema di Michael. Estensione di selezioni continue e di funzioni continue. Distanza di Hausdorff e sue proprietà. Multifunzioni Lipschitziane. Semicontinuità inferiore, superiore e continuità in senso metrico. Punti fissi. Teorema di Nadler. Multifunzioni misurabili. Teorema di Kuratowski e Ryll-Nardzewski. Rappresentazione di Castaing. Teorema fondamentale di semicontinuità inferiore. Selezioni Riemann-misurabili.
SOLUZIONI GENERALIZZATE DI EQUAZIONI ED INCLUSIONI DIFFERENZIALI: Soluzioni generalizzate di equazioni differenziali di ordine k. Inclusioni differenziali. Insieme raggiungibile. Esistenza e dipendenza dal valore iniziale per soluzioni di inclusioni differenziali ed equazioni differenziali. Cenni sul problema ai limiti e su equazioni integrali di tipo notevole.