ID:
37
Durata (ore):
96
CFU:
12
Url:
MATEMATICA/PERCORSO COMUNE Anno: 1
Anno:
2023
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (25/09/2023 - 12/01/2024)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Conoscenza critica dei contenuti e delle metodologie proprie dell’algebra moderna, acquisizione degli elementi del "linguaggio matematico" (teoria degli insiemi,insiemi numerici, nozioni di divisibilità, congruenze) e degli strumenti di base. (nozioni di operazione, strutture algebriche di gruppo, anello, campo).
Prerequisiti
Conoscenze matematiche solitamente acquisite nei cinque anni di una qualsiasi scuola secondaria
Metodi didattici
Il corso, al fine del raggiungimento degli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso
lezioni frontali ed esercitazioni in aula, svolte o guidate dal docente.
Potranno tenersi delle esercitazioni aggiuntive a cura del docente o del tutor designato.
Agli studenti sono fornite le Note del corso ed un eserciziario contenente prove d’esame svolte.
Verifica Apprendimento
L'esame finale consisterà in una prova scritta ed una prova orale.
La prova scritta, della durata di due ore, verifica la capacità di risolvere esercizi correlati con gli argomenti del corso. La prova orale verifica la capacità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso.
Durante il corso saranno svolte due o tre prove in itinere che, se superate, sostituiranno la prova scritta finale.
La prova scritta, della durata di due ore, verifica la capacità di risolvere esercizi correlati con gli argomenti del corso. La prova orale verifica la capacità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso.
Durante il corso saranno svolte due o tre prove in itinere che, se superate, sostituiranno la prova scritta finale.
Testi
M. Curzio, P. Longobardi, M. May, Lezioni di Algebra, Liguori Ed.. Napoli, 2014.
G. Piacentini Cattaneo, Algebra, Un approccio algoritmico, Zanichelli.
M. Curzio, P. Longobardi, M. May, Esercizi di Algebra, Liguori Ed. Napoli, 2011.
A. Ragusa, Collezione di Esercizi di Algebra, Ambasciatori, 2012
R. Utano, Note del corso di Algebra I, 2022.
G. Piacentini Cattaneo, Algebra, Un approccio algoritmico, Zanichelli.
M. Curzio, P. Longobardi, M. May, Esercizi di Algebra, Liguori Ed. Napoli, 2011.
A. Ragusa, Collezione di Esercizi di Algebra, Ambasciatori, 2012
R. Utano, Note del corso di Algebra I, 2022.
Contenuti
Teoria degli insiemi: Insiemi. Operazioni sugli insiemi. Corrispondenze. Applicazioni. Relazione di equivalenza. Insieme quoziente. Relazione di ordine. Insiemi ordinati. Prodotto cartesiano diuna famiglia di insiemi. Assioma della scelta. Potenza di un insieme. Numeri cardinali. Insiemi infiniti. Potenza del numerabile e del continuo. Potenza degli insiemi {0, 1}^N, N^N. Numeri naturali, interi, razionali, complessi.
Strutture algebriche: operazioni interne ed esterne. Semigruppi. Monoidi. Gruppi. Anelli. Corpi. Campi. Assiomi di Peano e Numeri naturali. Assioma del buon ordinamento. Principio di induzione. Anello Z degli interi relativi. Campo dei numeri razionali e campo dei numeri complessi. Corpo dei quaternioni. Divisione e divisibilità in Z. Esistenza del M.C.D. e m.c.m . Algoritmo di Euclide per la ricerca del M.C.D. Identità di Bézout. Elementi primi. Elementi irriducibili. Congruenze in Z. I teoremi di Fermat ed Eulero-Fermat. L’anello delle classi resto modulo un intero n>1. Elementi invertibili e zero divisori in Z_n. Congruenze lineari in una indeterminata: criterio di risolubilità, ricerca di soluzioni. Sistemi di congruenze lineari. Teorema cinese del resto.
Teoria dei gruppi: Gruppi. Esempi di gruppi. Sottogruppi. Equivalenze in un gruppo. Classi laterali. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali. Operazioni tra sottogruppi. Gruppo quoziente. Centro di un gruppo. Elementi coniugati. Teoremi di omomorfismo. Gruppi ciclici. Periodo di un elemento. Gruppo simmetrico su n elementi. Gruppi di trasformazioni. Gruppi diedrali. Endomorfismi, automorfismi, automorfismi interni. Gruppo degli automorfismi di un gruppo. Anello degli automorfismi di un gruppo abeliano. Automorfo di un gruppo. Normalizzante e centralizzante di un sottogruppo. Coniugio tra elementi e tra sottogruppi. Equazione delle classi. Centro di un gruppo. Laterali doppi e teorema di Frobenius. Teoremi di Sylow ed applicazioni.
Teoria degli anelli: Anelli. Sottoanelli. Corpi. Ideali di un anello. Equivalenze in un anello. Anello quoziente. Omomorfismi di anelli. Teoremi di omomorfismo. Ideali primi. Ideali massimali. Teorema di Krull. L'anello Z ed i suoi quozienti. Anelli dei polinomi: Polinomi su un anello. Algoritmo della divisione per polinomi su un campo e su un anello. Polinomi a coefficienti su un campo. Esistenza ed unicità del M.C.D. monico. Identità di Bézout. Radici e fattorizzazioni di polinomi in C[X], R[X] e Q[X].
Strutture algebriche: operazioni interne ed esterne. Semigruppi. Monoidi. Gruppi. Anelli. Corpi. Campi. Assiomi di Peano e Numeri naturali. Assioma del buon ordinamento. Principio di induzione. Anello Z degli interi relativi. Campo dei numeri razionali e campo dei numeri complessi. Corpo dei quaternioni. Divisione e divisibilità in Z. Esistenza del M.C.D. e m.c.m . Algoritmo di Euclide per la ricerca del M.C.D. Identità di Bézout. Elementi primi. Elementi irriducibili. Congruenze in Z. I teoremi di Fermat ed Eulero-Fermat. L’anello delle classi resto modulo un intero n>1. Elementi invertibili e zero divisori in Z_n. Congruenze lineari in una indeterminata: criterio di risolubilità, ricerca di soluzioni. Sistemi di congruenze lineari. Teorema cinese del resto.
Teoria dei gruppi: Gruppi. Esempi di gruppi. Sottogruppi. Equivalenze in un gruppo. Classi laterali. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali. Operazioni tra sottogruppi. Gruppo quoziente. Centro di un gruppo. Elementi coniugati. Teoremi di omomorfismo. Gruppi ciclici. Periodo di un elemento. Gruppo simmetrico su n elementi. Gruppi di trasformazioni. Gruppi diedrali. Endomorfismi, automorfismi, automorfismi interni. Gruppo degli automorfismi di un gruppo. Anello degli automorfismi di un gruppo abeliano. Automorfo di un gruppo. Normalizzante e centralizzante di un sottogruppo. Coniugio tra elementi e tra sottogruppi. Equazione delle classi. Centro di un gruppo. Laterali doppi e teorema di Frobenius. Teoremi di Sylow ed applicazioni.
Teoria degli anelli: Anelli. Sottoanelli. Corpi. Ideali di un anello. Equivalenze in un anello. Anello quoziente. Omomorfismi di anelli. Teoremi di omomorfismo. Ideali primi. Ideali massimali. Teorema di Krull. L'anello Z ed i suoi quozienti. Anelli dei polinomi: Polinomi su un anello. Algoritmo della divisione per polinomi su un campo e su un anello. Polinomi a coefficienti su un campo. Esistenza ed unicità del M.C.D. monico. Identità di Bézout. Radici e fattorizzazioni di polinomi in C[X], R[X] e Q[X].
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Altre informazioni
Corsi
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MATEMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
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