Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (26/02/2024 - 31/05/2024)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Conoscenza dei metodi per lo studio e l’analisi delle principali strutture algebriche non commutative (spazi vettoriali, anelli di endomorfismi, anelli primi, semiprimi, primitivi e semiprimitivi non commutativi). Comprensione della struttura delle algebre soddisfacenti identità polinomiali e identità funzionali.
Prerequisiti
Teoria dei gruppi, anelli e campi.
Metodi didattici
La didattica è affidata alle tradizionali lezioni frontali in aula. Vengono fornite le dimostrazioni di alcuni tra i principali teoremi di struttura. Una parte delle lezioni è dedicata allo svolgimento di esercizi esemplificativi svolti dal docente e preparatori alle prove di verifica (intermedia e finale). Sono inoltre previste esercitazioni guidate svolte dagli studenti, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.
Verifica Apprendimento
La prova finale consiste nella stesura di in un elaborato scritto, da svolgersi in una qualsiasi delle date previste dal calendario d'esami. La prova verterà sugli argomenti relativi all’intero programma del corso. Lo studente dovrà scrivere un breve saggio su un argomento assegnato e risolvere alcuni esercizi costituiti da domande a risposta aperta.
Lo studente dovrà dimostrare di saper organizzare discorsivamente la conoscenza, di aver acquisito una buona capacità di ragionamento critico sullo studio realizzato e di saper utilizzare gli strumenti forniti durante il corso.
La valutazione della prova è espressa con un voto in trentesimi. L’esame si intende superato se lo studente consegue un voto di almeno 18/30.
Al termine dello svolgimento della prima parte del corso viene svolta una prova intermedia di verifica (facoltativa).
Gli studenti che avranno superato la prova intermedia dovranno sostenere l’esame finale su argomenti inerenti esclusivamente alla seconda parte di programma. In caso di esito positivo, il voto finale sarà la media aritmetica dei voti conseguiti separatamente nella prova intermedia ed in quella finale sostenute e superate.
Testi
M. Bresar, Introduction to noncommutative algebra, Springer, 2014
T.Y. Lam, A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991.
K.I. Beidar, W.S. Martindale, A.V. Mikhalev, Rings with generalized identities, Dekker, 1996.
N. Jacobson, Structure of rings, American Math. Society Colloquium Publications, 1956.
I.N. Herstein, Noncommutative rings, The Carus Mathematical Monographs, 1971.
T. W. Hungerford, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1989.
Contenuti
Moduli irriducibili e moduli fedeli su di un anello. Anelli primitivi. Teorema di densità di Jacobson. Teorema di struttura degli anelli primitivi. Anelli primi e semiprimi. Teoremi di commutatività per anelli primi e semiprimi.
Anelli semisemplici. Teorema di Wedderburn-Artin. Il radicale di Jacobson di un anello.
Polinomi in variabili non commutative. Identità polinomiali standard. Teorema di Amitsur-Levitzki per algebre di matrici. Teorema di Kaplansky per algebre primitive e sue applicazioni. Teorema di Posner per algebre prime e sue applicazioni. La struttura degli anelli primi e semiprimi soddisfacenti identità polinomiali .
Anello dei quozienti di Martindale. Polinomi generalizzati in variabili non commutative
Anelli primi soddisfacenti identità polinomiali generalizzate. La struttura degli anelli primi e semiprimi soddisfacenti identità polinomiali generalizzate.
Polinomi funzionali in variabili non commutative. Derivazioni e derivazioni generalizzate in anelli semiprimi. Automorfismi in anelli semiprimi. Identità polinomiali differenziali. Identità polinomiali differenziali generalizzate.
Identità polinomiali differenziali ed identità polinomiali differenziali generalizzate con automorfismi. La struttura degli anelli primi e semiprimi soddisfacenti identità funzionali.
L'ipercentro di un anello. L'ipercentro di un ideale di Lie. L'ipercentro dell'insieme delle valutazioni di un polinomio. L'ipercentro generalizzato di un ideale di Lie.
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
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