ID:
4344
Durata (ore):
96
CFU:
12
Url:
MATEMATICA/Curriculum applicativo Anno: 2
Anno:
2023
Dati Generali
Periodo Di Attività
Primo Semestre (25/09/2023 - 12/01/2024)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Conoscenza degli strumenti analitici e geometrici per lo studio di sistemi dinamici: sistemi di equazioni differenziali ordinari lineari e non lineari, punti di equilibrio, stabilità, soluzioni periodiche, quasiperiodiche e caotiche, attrattori, mappe discrete. Conoscenza della teoria geometrica delle simmetrie di Lie per le equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali (riduzione dell’ordine, soluzioni invarianti, equazioni differenziali equivalenti). Uso maturo di ambienti software per il calcolo simbolico e numerico.
Prerequisiti
Algebra lineare, calcolo differenziale e integrale in una e più variabili, programmazione.
Metodi Didattici
Lezioni teoriche ed esercitazioni con l'ausilio di strumenti simbolici e numerici di calcolo scientifico.
Verifica Apprendimento
Stesura di una tesina su argomenti assegnati dal docente accompagnata da un esame orale.
Testi
1) M. W. Hisrsh, S. Smale, R. L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd edition, Academic Press, 2013.
2) G. W. Bluman, S. Kumei. Symmetries and differential equations. Springer, New York, 1989.
3) P. J. Olver. Applications of Lie groups to differential equations. Springer, New York, 1986.
4) Draft notes on dynamical systems and Lie symmetries of differential equations.
2) G. W. Bluman, S. Kumei. Symmetries and differential equations. Springer, New York, 1989.
3) P. J. Olver. Applications of Lie groups to differential equations. Springer, New York, 1986.
4) Draft notes on dynamical systems and Lie symmetries of differential equations.
Contenuti
Sistemi di equazioni differenziali lineari. Richiami di algebra lineare di base: matrici e operatori, sottospazi, basi e dimensione, cambiamenti di basi e coordinate. Spazi vettoriali complessi. Operatori reali con autovalori complessi. Riassunto della topologia di R^n. Esponenziale di operatori. Sistemi lineari omogenei. Sistemi non omogenei. La decomposizione primaria. La decomposizione S+N. Calcolo diretto di exp(At). Decomposizione canonica ed equazioni differenziali. Operatori contrattivi ed espansivi. Pozzi e sorgenti. Flussi iperbolici. Esistenza e unicità della soluzione. Continuità delle soluzioni dai dati iniziali. Continuazione delle soluzioni. Stabilità dei punti di equilibrio. Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio. Pozzi non lineari. Stabilità. Funzione di Liapunov. Equazioni differenziali con autovalori reali e distinti. Autovalori complessi.
Autospazi e varietà invarianti. Costruzione analitica delle varietà stabile e instabile. Biforcazioni dei sistemi continui. Biforcazioni dei punti fissi.
Biforcazioni statiche. Biforcazione di Hopf. Forme normali per le biforcazioni. Riduzione sulla varietà centrale. Equazioni differenziali dei circuiti elettrici. Equazione di Van der Pol. Metodi asintotici: Poincaré, Lindstedt, scale multiple. Soluzioni periodiche. Teoria di Floquet. Varietà delle soluzioni periodiche. Mappe di Poincaré. Biforcazioni delle soluzioni periodiche. Biforcazione per rottura di simmetria. Biforcazione ciclica ripiegata. Biforcazione transcritica. Biforcazione di raddoppio del periodo. Biforcazione di Hopf secondaria o di Neimark. Sistemi dinamici discreti. Punti fissi, orbite periodiche e loro stabilità. Soluzioni caotiche.Mappe Unidimensionali. Esponente di Liapunov in una dimensione. Mappa logistica. Mappe bidimensionali. Mappa di Henon. Esponenti di Liapunov di mappe discrete. Calcolo numerico degli esponenti di Liapunov. I sistemi di Lorenz, Rossler e Chua. Esponenti di Liapunov dei sistemi continui.
Gruppi continui di trasformazioni. Algebre di Lie. Algebre abeliane, risolvibili, semisemplici. Sottoalgebre di Lie. Gruppi di trasformazioni infinitesime. Operatori infinitesimi. Teoremi fondamentali di Lie. Equazioni di Lie. Invarianti, variabili canoniche. Teoria geometrica delle equazioni differenziali. Richiami di geometria differenziale. Varietà differenziabili. Spazio dei getti. Simmetrie di Lie di equazioni differenziali. Prolungamento dei gruppi di Lie. Algoritmo di Lie. Invarianti differenziali.
Simmetrie di Lie ed equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine. Determinazione del fattore integrante. Equazioni differenziali di ordine superiore. Determinazione delle simmetrie. Struttura dell'algebra delle simmetrie. Abbassamento dell'ordine con le variabili canoniche e con gli invarianti differenziali. Esempi e applicazioni.
Determinazione delle simmetrie di Lie per equazioni a derivate parziali. Condizioni di superficie invariante. Soluzioni invarianti. Esempi ed applicazioni (equazioni lineari e non lineari delle onde e del calore, equazioni di Eulero della gas-dinamica, equazioni della magnetofluidodinamica, equazioni di Burgers, Korteweg-deVries e generalizzazioni). Trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in forma autonoma, lineare, in forma autonoma e quasilineare omogenea. Principali teoremi ed applicazioni.
Simmetrie non classiche e condizionali: teoria ed applicazioni. Simmetrie variazionali: teorema di Noether. Trasformazioni di equivalenza.
Software di calcolo simbolico per lo studio delle simmetrie di Lie di equazioni differenziali.
Autospazi e varietà invarianti. Costruzione analitica delle varietà stabile e instabile. Biforcazioni dei sistemi continui. Biforcazioni dei punti fissi.
Biforcazioni statiche. Biforcazione di Hopf. Forme normali per le biforcazioni. Riduzione sulla varietà centrale. Equazioni differenziali dei circuiti elettrici. Equazione di Van der Pol. Metodi asintotici: Poincaré, Lindstedt, scale multiple. Soluzioni periodiche. Teoria di Floquet. Varietà delle soluzioni periodiche. Mappe di Poincaré. Biforcazioni delle soluzioni periodiche. Biforcazione per rottura di simmetria. Biforcazione ciclica ripiegata. Biforcazione transcritica. Biforcazione di raddoppio del periodo. Biforcazione di Hopf secondaria o di Neimark. Sistemi dinamici discreti. Punti fissi, orbite periodiche e loro stabilità. Soluzioni caotiche.Mappe Unidimensionali. Esponente di Liapunov in una dimensione. Mappa logistica. Mappe bidimensionali. Mappa di Henon. Esponenti di Liapunov di mappe discrete. Calcolo numerico degli esponenti di Liapunov. I sistemi di Lorenz, Rossler e Chua. Esponenti di Liapunov dei sistemi continui.
Gruppi continui di trasformazioni. Algebre di Lie. Algebre abeliane, risolvibili, semisemplici. Sottoalgebre di Lie. Gruppi di trasformazioni infinitesime. Operatori infinitesimi. Teoremi fondamentali di Lie. Equazioni di Lie. Invarianti, variabili canoniche. Teoria geometrica delle equazioni differenziali. Richiami di geometria differenziale. Varietà differenziabili. Spazio dei getti. Simmetrie di Lie di equazioni differenziali. Prolungamento dei gruppi di Lie. Algoritmo di Lie. Invarianti differenziali.
Simmetrie di Lie ed equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine. Determinazione del fattore integrante. Equazioni differenziali di ordine superiore. Determinazione delle simmetrie. Struttura dell'algebra delle simmetrie. Abbassamento dell'ordine con le variabili canoniche e con gli invarianti differenziali. Esempi e applicazioni.
Determinazione delle simmetrie di Lie per equazioni a derivate parziali. Condizioni di superficie invariante. Soluzioni invarianti. Esempi ed applicazioni (equazioni lineari e non lineari delle onde e del calore, equazioni di Eulero della gas-dinamica, equazioni della magnetofluidodinamica, equazioni di Burgers, Korteweg-deVries e generalizzazioni). Trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in forma autonoma, lineare, in forma autonoma e quasilineare omogenea. Principali teoremi ed applicazioni.
Simmetrie non classiche e condizionali: teoria ed applicazioni. Simmetrie variazionali: teorema di Noether. Trasformazioni di equivalenza.
Software di calcolo simbolico per lo studio delle simmetrie di Lie di equazioni differenziali.
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
Persone
Professori/esse Ordinari/e
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