Fornire un’adeguata conoscenza degli strumenti matematici più avanzati necessari per affrontare lo studio dei corsi di fisica moderna del terzo anno della laurea triennale. Questo corso si propone di far apprendere le basi matematiche per lo sviluppo della meccanica quantistica ed è quindi incentrato sulla nozione di spazio di Hilbert e di padroneggiare le raffinate tecniche dell'analisi complessa e delle trasformate di Fourier. In particolare, sono fondamentali i seguenti argomenti: Analisi complessa Spazi metrici, normati e topologici Misura di Lebesgue Serie e trasformate di Fourier Spazi di Hilbert Operatori in spazi di Hilbert Distribuzioni
Prerequisiti
Conoscenze di matematica ottenute dai corsi di analisi matematica I e II (calcolo differenziale e calcolo integrale per funzioni di una o piu' variabili, equazioni differenziali ordinarie) e dal corso di geometria (algebra lineare, geometria analitica).
Metodi didattici
Lezioni frontali alla lavagna ed esercitazioni in aula. Pur non costituendo obbligo, è fortemente consigliata la frequenza assidua delle lezioni
Verifica Apprendimento
Esame finale scritto e colloquio orale. Non sono previste prove in itinere. Costituiscono elementi di valutazione il grado di conoscenza del programma, l'abilità nel risolvere gli esercizi e la capacità espositiva.
Testi
P. Szekeres, A Course in Modern Mathematical Physics (Cambridge, 2004); A. Altland and J. von Delft, Mathematics for Physicists (Cambridge, 2019); C. Bernardini, O. Ragnisco and P.M. Santini, Metodi matematici della Fisica, NIS 1993; P.A. Grassi Esercizi di metodi matematici, Casa Editrice Ambrosiana, 2018.
Contenuti
1) Complementi di analisi (estremi vincolati, calcolo delle variazioni, trasformata di Legendre); 2) Analisi complessa (funzioni olomorfe - teorema di Cauchy - serie di Laurent - teorema dei residui-sviluppi asintotici); 3) Richiami di algebra (gruppi, campi e spazi vettoriali - algebre e sigma-algebre, problema agli autovalori, funzioni di matrice); 4) Spazi metrici e topologici (lo spazio R^n - spazi metrici - spazi normati - funzionali lineari e dualità - spazi topologici); 5) Teoria della misura e integrale di Lebesgue (misure in generale - la misura di Lebesgue - funzioni misurabili - l'integrale di Lebesgue - spazi di Lebesgue - risultati di convergenza); 6) Serie e trasformata di Fourier (convergenza della serie di Fourier - esistenza e proprietà della trasformata di Fourier); 7) Spazi di Hilbert (spazi euclidei - decomposizione ortogonale - dualità - sistemi ortonormali - polinomi ortogonali); 8) Operatori in spazi di Hilbert (operatori limitati e loro proprietà - operatori non limitati - operatore aggiunto - operatori hermitiani ed operatori autoaggiunti - operatori isometrici ed operatori unitari - autovalori ed autovettori - teoria spettrale - operatori compatti e teorema di Hilbert-Schmidt); 9) Distribuzioni (funzioni di prova - operazioni sulle distribuzioni – successioni di distribuzioni – distribuzioni temperate)