Obiettivo del corso è far acquisire agli studenti un'adeguata conoscenza e comprensione dei modelli matematici della fisica classica, fornendo i concetti di base delle formulazioni lagrangiana ed hamiltoniana della meccanica. In particolare, sono fondamentali i seguenti argomenti:
Vincoli. Gradi di libertà. Coordinate lagrangiane;
Principio di d’Alembert ed equazioni di Lagrange;
Principi variazionali, teoremi di conservazione e proprietà di simmetria;
Equazioni del moto di Hamilton;
Trasformazioni canoniche;
Teoria di Hamilton-Jacobi.
Prerequisiti
Conoscenza e padronanza delle leggi della meccanica classica e del calcolo vettoriale, nonché del
calcolo di derivate e integrali (compresi integrali di linea).
Metodi didattici
La metodologia didattica prevede attività di lezione frontale ed esercitazioni. Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi alla meccanica Lagrangiana ed Hamiltoniana. La teoria è sempre accompagnata da esempi e dalla descrizione di applicazioni pratiche. Vengono inoltre svolti numerosi esercizi in aula.
Verifica Apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso un esame, che accerta l'acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale. La prova orale è obbligatoria. Nella prova scritta, della durata di due ore, vengono proposti due/tre quesiti. La prova orale consiste in un approfondimento orale volto ad accertare le conoscenze teoriche e la padronanza degli argomenti del corso. La valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dell'esposizione in un linguaggio scientifico appropriato.
Testi
H. Goldstein: Meccanica Classica, Zanichelli Editore, Bologna, 2004. A. Fasano - S. Marmi, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri, Torino, 2002 F. Scheck, Mechanics: From Newton's Laws to Deterministic Chaos, Springer-Verlag, 2005 J G Papastavridis, Analytical Mechanichs, World Scientific, 2002
Contenuti
SISTEMI VINCOLATI: Vincoli, coordinate lagrangiane. Vincoli ideali. Relazione simbolica della dinamica. Teorema dei lavori virtuali. EQUAZIONI DI LAGRANGE: Principio di d’Alembert ed equazioni di Lagrange. Equazioni di Lagrange nel caso conservativo. Potenziali generalizzati. Invarianza delle equazioni di Lagrange per trasformazioni di punto nello spazio delle configurazioni. Trasformazioni di gauge. Principio variazionale di Hamilton. EQUAZIONI DI HAMILTON. Parentesi di Poisson e loro proprietà. Integrali primi di un sistema canonico. Teorema di Liouville. TRAFORMAZIONI CANONICHE: Trasformazioni che conservano la struttura canonica. Funzioni generatrici. Criteri per riconoscere la natura canonica di una trasformazione. Trasformazioni infinitesime e vicine all’identità. TEORIA DI HAMILTON-JACOBI: Equazione di Hamilton-Jacobi. Metodo di separazione delle variabili.