ID:
4169
Durata (ore):
54
CFU:
7
Url:
FISICA/PERCORSO COMUNE Anno: 2
Anno:
2023
Dati Generali
Periodo Di Attività
Primo Semestre (25/09/2023 - 12/01/2024)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il modulo si propone l'acquisizione dei fondamenti del calcolo differenziale e integrale di funzioni di più variabili reali nonché le tecniche di integrazione su curve curando lo sviluppo della capacità di applicarli in ambito scientifico. In particolare, sono fondamentali i seguenti argomenti:
Elementi di topologia in Rn;
Limiti e continuità per funzioni reali e vettoriali di più variabili reali;
Calcolo differenziale per funzioni reali e vettoriali di più variabili reali;
Teoria di ottimizzazione: massimi e minimi locali e cenni su massimi e minimi vincolati e funzioni implicite;
Calcolo integrale per funzioni reali di più variabili reali;
Curve in Rn. Integrale curvilineo di 1ᵃ specie;
Forme differenziali lineari e integrale curvilineo di 2ᵃ specie.
Elementi di topologia in Rn;
Limiti e continuità per funzioni reali e vettoriali di più variabili reali;
Calcolo differenziale per funzioni reali e vettoriali di più variabili reali;
Teoria di ottimizzazione: massimi e minimi locali e cenni su massimi e minimi vincolati e funzioni implicite;
Calcolo integrale per funzioni reali di più variabili reali;
Curve in Rn. Integrale curvilineo di 1ᵃ specie;
Forme differenziali lineari e integrale curvilineo di 2ᵃ specie.
Prerequisiti
Conoscenze di analisi matematica di base e degli argomenti svolti nel corso di Matematica I.
Metodi Didattici
Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.
Verifica Apprendimento
L'esame finale è costituito da due parti:
-una prova scritta riguardante tutti gli argomenti trattati durante il corso;
-un colloquio orale che comprende una eventuale discussione sulla prova scritta e l'esposizione di argomenti trattati durante il corso. La valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dell’esposizione con linguaggio scientifico.
L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30.
-una prova scritta riguardante tutti gli argomenti trattati durante il corso;
-un colloquio orale che comprende una eventuale discussione sulla prova scritta e l'esposizione di argomenti trattati durante il corso. La valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dell’esposizione con linguaggio scientifico.
L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30.
Testi
N. Fusco, P. Marcellini, C Sbordone. Lezioni di Analisi Matematica due. Zanichelli
C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica II. Masson
S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Analisi Matematica II. Masson
C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica II. Masson
S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Analisi Matematica II. Masson
Contenuti
ELEMENTI DI TEORIA DEGLI SPAZI NORMATI:
Spazi normati. Esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Minkowsky. Dischi aperti e chiusi. Intorni. Insiemi aperti. Proprietà della famiglia degli aperti. Insiemi chiusi. Proprietà della famiglia dei chiusi. Punti interni. Punti di frontiera. Punti di accumulazione. Interno di un insieme. Derivato di un insieme. Frontiera di un insieme. Chiusura di un insieme. Diametro di un insieme. Domini. Norme equivalenti. Norme in R^n. Funzioni continue tra spazi normati. Teorema di Weierstrass.
FUNZIONI DI PIU' VARIABILI:
Continuità delle funzioni di più variabili reali. Limiti delle funzioni di più variabili. Dominio di una funzione di più variabili. Grafico di una funzione di più variabili: curve e superfici di livello. Derivate parziali. Teorema di Schwarz. Derivata secondo un vettore e derivata direzionale. Funzioni differenziabili. Condizioni necessarie per la differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Piano tangente e retta normale al grafico di una funzione. Derivata delle funzioni composte. Funzioni aventi gradiente nullo. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Derivata della funzione implicita. Teorema del Dini per i sistemi di funzioni implicite. Massimi e minimi locali di funzioni di più variabili. Forme quadratiche. Teorema di Fermat. Ricerca degli estremi relativi mediante lo studio della matrice Hessiana. Massimi e minimi assoluti di una funzione di più variabili. Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
CURVE ED INTEGRALI CURVILINEI: Funzioni a valori vettoriali. Curve in R^3. Equazione parametrica e vettoriale di una curva. Curve regolari e generalmente regolari. Vettore tangente ad una curva in un punto. Diffeomorfismi e riparametrizzazioni. Curve rettificabili e lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Curvatura e torsione di una curva. Piano osculatore. Triedro di Frenet. Equazioni di Frenet. Teorema fondamentale delle curve spaziali. Integrali curvilinei di funzioni rispetto alla lunghezza d’arco. Significato geometrico e proprietà degli integrali curvilinei di funzioni. Applicazioni degli integrali curvilinei di funzioni ai corpi filiformi: calcolo della massa, delle coordinate del baricentro e del momento d’inerzia rispetto ad un asse orientato di un corpo filiforme di assegnata densità
FORME DIFFERENZIALI E LORO INTEGRALI CURVILINEI:
Forme differenziali lineari e campi vettoriali ad esse associate. Integrali curvilinei delle forme differenziali. Proprietà degli integrali curvilinei delle forme differenziali. Forme differenziali esatte: campi vettoriali conservativi. Potenziale di un campo conservativo. Integrale curvilineo di una forma differenziale esatta. Forme differenziali chiuse: campi vettoriali irrotazionali. Forme differenziali su insiemi semplicemente connessi. Metodi per il calcolo del potenziale di un campo vettoriale conservativi
INTEGRALI MULTIPLI:
Integrali doppi: Domini normali di R^2. Misura dei domini normali di R^2. Decomposizioni dei domini normali di R^2. Somme di Riemann di una funzione limitata relative ad una decomposizione del dominio. Integrale doppio secondo Riemann di una funzione limitata definita su un dominio normale di R^2. Domini regolari di R^2. Integrali doppi su domini regolari di R^2. Significato geometrico dell’integrale doppio: volume del cilindroide individuato da una funzione di due variabili. Formule di riduzione di integrali doppi su domini normali. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinale polari. Applicazioni degli integrali doppi: calcolo delle aree, calcolo dei volumi, calcolo della massa, del baricentro e del momento d’inerzia rispetto ad un asse di una lamina. Teorema di Gauss-Green nel piano. Applicazioni del teorema di Gauss-Green: area di una figura piana, teorema della divergenza nel piano, teorema del rotore nel piano.
Integrali tripli: Domini normali di R^3. Misura dei domini normali di R^3. Decomposizioni dei domini normali di R^3. Somme di Riemann di una funzione limitata relative ad una decomposizione del dominio. Integrale triplo secondo Riemann di una funzione limitata definita su un dominio normale di R^3. Domini regolari di R^3. Integrali tripli su domini regolari di R^3. Integrali per proiezioni e sezioni. Formule di riduzione di integrali tripli su domini normali. Integrali tripli per strati e per fili. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate sferiche. Coordinate cilindriche. Applicazioni degli integrali tripli: calcolo dei volumi, calcolo della massa, del baricentro e del momento d’inerzia rispetto ad un asse di un corpo solido.
Aspetti teorici: Condizioni necessarie e sufficienti di integrabilità. Teorema della media. Proprietà dell’integrale di Riemann.
SUPERFICI ED INTEGRALI SUPERFICIALI:
Superfici in R^3. Equazioni parametriche di una superficie. Superfici regolari. Piano tangente e retta normale ad una superficie regolare. Area di una superficie regolare. Integrali superficiali. Solidi di rotazione. Area di una superficie di rotazione. Volume di un solido di rotazione. Teoremi di Guldino. Teorema della divergenza nello spazio. Teorema del rotore nello spazio. Campi vettoriali solenoidali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. Calcolo di un campo vettoriale solenoidale attraverso la conoscenza del suo rotore. Flusso di un campo vettoriale solenoidale attraverso superfici regolari.
Spazi normati. Esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Minkowsky. Dischi aperti e chiusi. Intorni. Insiemi aperti. Proprietà della famiglia degli aperti. Insiemi chiusi. Proprietà della famiglia dei chiusi. Punti interni. Punti di frontiera. Punti di accumulazione. Interno di un insieme. Derivato di un insieme. Frontiera di un insieme. Chiusura di un insieme. Diametro di un insieme. Domini. Norme equivalenti. Norme in R^n. Funzioni continue tra spazi normati. Teorema di Weierstrass.
FUNZIONI DI PIU' VARIABILI:
Continuità delle funzioni di più variabili reali. Limiti delle funzioni di più variabili. Dominio di una funzione di più variabili. Grafico di una funzione di più variabili: curve e superfici di livello. Derivate parziali. Teorema di Schwarz. Derivata secondo un vettore e derivata direzionale. Funzioni differenziabili. Condizioni necessarie per la differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Piano tangente e retta normale al grafico di una funzione. Derivata delle funzioni composte. Funzioni aventi gradiente nullo. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Derivata della funzione implicita. Teorema del Dini per i sistemi di funzioni implicite. Massimi e minimi locali di funzioni di più variabili. Forme quadratiche. Teorema di Fermat. Ricerca degli estremi relativi mediante lo studio della matrice Hessiana. Massimi e minimi assoluti di una funzione di più variabili. Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
CURVE ED INTEGRALI CURVILINEI: Funzioni a valori vettoriali. Curve in R^3. Equazione parametrica e vettoriale di una curva. Curve regolari e generalmente regolari. Vettore tangente ad una curva in un punto. Diffeomorfismi e riparametrizzazioni. Curve rettificabili e lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Curvatura e torsione di una curva. Piano osculatore. Triedro di Frenet. Equazioni di Frenet. Teorema fondamentale delle curve spaziali. Integrali curvilinei di funzioni rispetto alla lunghezza d’arco. Significato geometrico e proprietà degli integrali curvilinei di funzioni. Applicazioni degli integrali curvilinei di funzioni ai corpi filiformi: calcolo della massa, delle coordinate del baricentro e del momento d’inerzia rispetto ad un asse orientato di un corpo filiforme di assegnata densità
FORME DIFFERENZIALI E LORO INTEGRALI CURVILINEI:
Forme differenziali lineari e campi vettoriali ad esse associate. Integrali curvilinei delle forme differenziali. Proprietà degli integrali curvilinei delle forme differenziali. Forme differenziali esatte: campi vettoriali conservativi. Potenziale di un campo conservativo. Integrale curvilineo di una forma differenziale esatta. Forme differenziali chiuse: campi vettoriali irrotazionali. Forme differenziali su insiemi semplicemente connessi. Metodi per il calcolo del potenziale di un campo vettoriale conservativi
INTEGRALI MULTIPLI:
Integrali doppi: Domini normali di R^2. Misura dei domini normali di R^2. Decomposizioni dei domini normali di R^2. Somme di Riemann di una funzione limitata relative ad una decomposizione del dominio. Integrale doppio secondo Riemann di una funzione limitata definita su un dominio normale di R^2. Domini regolari di R^2. Integrali doppi su domini regolari di R^2. Significato geometrico dell’integrale doppio: volume del cilindroide individuato da una funzione di due variabili. Formule di riduzione di integrali doppi su domini normali. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinale polari. Applicazioni degli integrali doppi: calcolo delle aree, calcolo dei volumi, calcolo della massa, del baricentro e del momento d’inerzia rispetto ad un asse di una lamina. Teorema di Gauss-Green nel piano. Applicazioni del teorema di Gauss-Green: area di una figura piana, teorema della divergenza nel piano, teorema del rotore nel piano.
Integrali tripli: Domini normali di R^3. Misura dei domini normali di R^3. Decomposizioni dei domini normali di R^3. Somme di Riemann di una funzione limitata relative ad una decomposizione del dominio. Integrale triplo secondo Riemann di una funzione limitata definita su un dominio normale di R^3. Domini regolari di R^3. Integrali tripli su domini regolari di R^3. Integrali per proiezioni e sezioni. Formule di riduzione di integrali tripli su domini normali. Integrali tripli per strati e per fili. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate sferiche. Coordinate cilindriche. Applicazioni degli integrali tripli: calcolo dei volumi, calcolo della massa, del baricentro e del momento d’inerzia rispetto ad un asse di un corpo solido.
Aspetti teorici: Condizioni necessarie e sufficienti di integrabilità. Teorema della media. Proprietà dell’integrale di Riemann.
SUPERFICI ED INTEGRALI SUPERFICIALI:
Superfici in R^3. Equazioni parametriche di una superficie. Superfici regolari. Piano tangente e retta normale ad una superficie regolare. Area di una superficie regolare. Integrali superficiali. Solidi di rotazione. Area di una superficie di rotazione. Volume di un solido di rotazione. Teoremi di Guldino. Teorema della divergenza nello spazio. Teorema del rotore nello spazio. Campi vettoriali solenoidali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. Calcolo di un campo vettoriale solenoidale attraverso la conoscenza del suo rotore. Flusso di un campo vettoriale solenoidale attraverso superfici regolari.
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Corsi
Corsi
FISICA
Laurea
3 anni
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Persone
Persone
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