Conoscenze delle forme bilineari e delle forme quadratiche, degli spazi affini, euclidei e proiettivi.
Prerequisiti
Conoscenze di base di teoria degli insiemi, algebra, analisi matematica. Padronanza degli argomenti svolti in Geometria I e Analisi I.
Testi
E. Sernesi Geometria 1 Bollati Boringhieri; M.Stoka Corso di Geometria CEDAM; M.Stoka,V.Pipitone - Esercizi e problemi di Geometria - CEDAM; G.Vecchio - Lezioni di Geometria 2.
Contenuti
Applicazioni bilineari. Forme bilineari. Forme bilineari simmetriche. Forme quadratiche. Forma polare di una forma quadratica. Relazione di coniugio. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Forme quadratiche degeneri e loro caratterizzazione. Teorema della base coniugata. Forme bilineari e forme quadratiche reali. Disuguaglianza di Schwarz. Disuguaglianza di Minkowski. Riduzione a forma canonica di una forma quadratica reale col metodo degli autovalori e col metodo di Gauss-Lagrange. Spazi vettoriali Euclidei. Prodotti scalari. Norma di un vettore. Basi ortonormali. Teorema di Carnot. Teorema di Pitagora. Teorema della proiezione. Spazio vettoriale Euclideo di dimensione tre. Prodotto vettoriale. Isometrie e similitudini di uno spazio vettoriale Euclideo. Spazi affini. Definizioni e prime proprietà. Varietà lineari affini. Giacitura e dimensione di una varietà lineare affine. Punti, rette, piani e iperpiani di uno spazio affine. Sottovarietà. Intersezione e congiunzione di varietà lineari affini. Parallelismo di varietà lineari affini. Riferimenti affini e formule del cambiamento. Equazione vettoriale, equazioni scalari ed equazioni cartesiane di una varietà lineare affine. Spazi affini euclidei. Angolo di due rette. Parametri e coseni direttori di una retta. Equazione vettoriale di un iperpiano. Distanza di un punto da un iperpiano. Equazione normale di un iperpiano. Angolo di due iperpiani. Parallelismo e ortogonalità di due iperpiani. Angolo fra una retta e un iperpiano. Parallelismo e ortogonalità di una retta con un iperpiano. Varietà lineari affini ortogonali. Applicazioni affini. Affinità. Il gruppo delle affinità. Il sottogruppo centroaffine. Traslazioni. Affinità di uno spazio affine Euclideo: movimenti Euclidei, congruenze, rotazioni, similitudini, omotetie, simmetrie centrali, simmetrie rispetto a una varietà lineare affine. Equazioni di una applicazione affine fra spazi affini di dimensioni finite. Equazioni di una affinità. Equazioni di una congruenza nel piano affine Euclideo. Richiami su spazi proiettivi. Varietà lineari proiettive. Intersezione e somma di varietà lineari proiettive. Applicazioni proiettive. Omografie o proiettività. Centro di una omografia. Varietà trasformata tramite omografia. Equazioni di una omografia. Teorema fondamentale della geometria proiettiva. Involuzioni di uno spazio proiettivo. Varietà lineari proiettive unite per omografie. Punti uniti di una omografia del piano proiettivo. Legge di Dedekind. Proiezione di una varietà lineare proiettiva su un'altra varietà. Birapporto di quattro punti di una retta proiettiva. Quaterne armoniche e loro caratterizzazione mediante il birapporto. Omografie di rette proiettive. Punti limite di una omografia di rette proiettive. Involuzione di una retta proiettiva e sue caratterizzazioni. Omografie iperboliche, paraboliche e loro equazioni canoniche. Omografie ellittiche. Omografie come composizione di involuzioni.