Conoscenza dei principali argomenti di geometria proiettiva delle curve algebriche e introduzione alla geometria algebrica.
Prerequisiti
Conoscenze di base di teoria degli insiemi, algebra, analisi matematica. Padronanza degli argomenti svolti in Geometria I e Analisi I.
Testi
1) M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Springer, Milano, 2006
2) A. Alzati, Curve algebriche piane con esercitazioni, Univ. Milano, 2005
3) M. Battelli, U. Moretti, Matematica, Vol. 1 “Le curve algebriche”, CPE, Modena, 1983
Contenuti
Spazi proiettivi. Richiami su spazi euclidei e affini, spazio proiettivo numerico Pn, coordinate omogenee di punti, riferimenti proiettivi, sottospazi proiettivi e operazioni con essi, formula di Grassmann proiettiva, equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi, ipersuperfici proiettive. Curve algebriche piane affini e proiettive. Ordine e supporto di una curva, curve irriducibili, ridotte e spezzate, punti semplici e punti singolari, molteplicità di un punto, curve lisce e singolari, intersezioni retta-curva, molteplicità di intersezione, cono tangente a una curva in un punto multiplo, studio della tangenza nell’origine, piano proiettivo e sue modellizzazioni, punti e rette improprie, chiusura proiettiva e proiezione affine, omogeneizzazione e deomogeneizzazione di curve, caratterizzazione dei punti singolari, lemma di Eulero, tangenze, asintoti, flessi e curva hessiana. Intersezioni di curve algebriche. Proiettività, lemma dei quattro punti, mappa proiezione, risultante di polinomi e matrice di Sylvester, forma debole e forma forte del teorema di Bézout e principali conseguenze, teorema dei 9 punti associati, struttura di gruppo abeliano per una cubica liscia piana proiettiva, isomorfismo di gruppi a punti fissi distinti, applicazioni ai flessi. Studio di una curva algebrica. Lemma di Study, componenti di una curva algebrica, finitezza dei punti singolari di curve ridotte, intersezioni di una curva con gli assi e la retta impropria, molteplicità e tangenti nell’origine e negli eventuali punti impropri fondamentali, regioni reali in cui giace la curva, punti doppi e tangenti principali, andamento locale di una curva nell’intorno di un suo punto semplice e doppio rispetto alle tangenti in esso, nodi ordinari e isolati, flecnodi e biflecnodi, punti doppi di natura cuspidale: cuspidi, tacnodi, oscnodi, curve osculatrici, cenni sui punti tripli e n-upli, stime del numero massimo di punti singolari di una curva irriducibile ridotta, funzioni razionali e curve razionali, genere di una curva, equazioni parametriche di una curva razionale e metodi per ricavarle: trigonometrico, curve aggiunte, inversione per raggi vettori reciproci, ulteriori determinazioni per la rappresentazione di una curva algebrica, studio di una curva razionale in forma parametrica, tracciatura del grafico di curve algebriche piane classiche. Elementi di geometria algebrica. Divisori su curve lisce irriducibili, divisori tagliati, equivalenza lineare di divisori, teorema di Max Noether e relativo corollario, teorema del resto, sistemi lineari di curve e loro dimensione, serie lineari tagliate e non su una curva liscia, grado e dimensione di una serie lineare, serie lineari complete, teorema di Riemann, serie canoniche, divisori speciali, indice di specialità di una serie lineare, teorema di Riemann-Roch e sue conseguenze, serie lineari residue, punti base e divisori base, vari casi ed applicazioni.