ID:
2901
Durata (ore):
48
CFU:
6
Url:
MATEMATICA/PERCORSO COMUNE Anno: 3
Anno:
2023
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (25/09/2023 - 12/01/2024)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Lo scopo del corso è fornire conoscenze su: spazi topologici, spazi metrizzabili, spazi primo e secondo numerabili, funzioni continue tra spazi topologici, operazioni su spazi topologici, assiomi di separazione, spazi connessi e connessi per archi, spazi compatti, compattificazioni.
Prerequisiti
Conoscenze di base di teoria degli insiemi e di analisi. Padronanza degli argomenti svolti in Geometria I e Geometria II.
Metodi didattici
Lezioni frontali. Esercitazioni in aula. Seminari di approfondimento assegnati agli studenti
Verifica Apprendimento
L'esame orale è volto a verificare il grado di raggiungimento degli obiettivi formativi, ovvero il livello di conoscenza degli argomenti e la capacità di affrontare problematiche in ambito topologico.
Testi
J.R. Munkres, Topology (2000) Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ07458 R.
Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.
M. Bonanzinga, Appunti del corso di Geometria III
Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.
M. Bonanzinga, Appunti del corso di Geometria III
Contenuti
1. "Spazi topologici."
Definizione e esempi. Chiusura ed interno di un insieme. Proprietà. Punti di accumulazione e di frontiera. Costruzione di una topologia da una base e da una base di intorni. La retta di Sorgenfrey. Il piano di Niemytzki. Confronto di topologie. Spazi metrizzabili. Funzioni continue. Sottospazi topologici. Spazi secondo numerabili. Spazi primo numerabili. Spazi separabili. Spazi topologici linearmente ordinali. La retta di Sorgenfrey come sottospazio di uno spazio topologico linearmente ordinato.
2. "Gli assiomi di separazione."
Gli assiomi di separazione Ti, con i=0,1,2,21/2, 3,31/2, 4,5,6. Proprietà, caratterizzazioni, esempi e controesempi.
3. "Prodotti e quozienti."
Topologie definite mediante famiglie di funzioni. Prodotto di spazi topologici. Prodotto di una famiglia infinita di spazi. Spazi quoziente. La circonferenza, il cilindro, il toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Kleine, gli spazi proiettivi reale e complesso come rappresentazione di spazi quoziente.
4. "Spazi connessi e connessi per archi."
Definizione, esempi e prime proprietà. Il prodotto di spazi connessi è connesso se e solo se lo sono tutti gli spazi fattore. Teorema del valore intermedio. Teorema del punto fisso. Teorema di Borsuk-Ulam. Componente connessa di x in X. Spazi totalmente sconnessi. Spazi connessi per archi. Un aperto di R^n è connesso se e solo se è connesso per archi. Il prodotto di spazi è connesso per archi se e solo se lo solo tutti gli spazi fattori. Il seno del topologo.
5. "Spazi compatti."
Definizione, esempi e caratterizzazione della compattezza mediante famiglie di sottoinsiemi con la proprietà dell’intersezione finita. Ogni spazio compatto di Hausdorff è normale. I sottospazi compatti della retta reale sono tutti e solo i sottospazi chiusi e limitati.Teorema di Kuratowski. Teorema di Heine-Borel. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Un sottospazio di R^n è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Teorema di Tychonoff.
Topologia prodotto box. Teorema di immersione. Uno spazio X è completamente regolare se e solo se esiste uno spazio compatto di Hausdorff avente un sottospazio omeomorfo a X. Teorema di metrizzazione di Alexandroff-Urysohn. Compattificazioni di uno spazio. Uno spazio è compattificabile se e solo se è completamente regolare. Ordinameto parziale sull’insieme di tutte le compattificazioni di uno spazio di Tychonoff. Spazi localmente compatti. La compatificazione di Aleksandrof e la compattificazione di Stone-Cech. La compattificazione di Aleksandrof della retta reale, di Rn, dell’iperbole equilatera e della parabola. Teorema di Stone. Spazi metrici completi. Spazi metrici totalmente limitati.
Definizione e esempi. Chiusura ed interno di un insieme. Proprietà. Punti di accumulazione e di frontiera. Costruzione di una topologia da una base e da una base di intorni. La retta di Sorgenfrey. Il piano di Niemytzki. Confronto di topologie. Spazi metrizzabili. Funzioni continue. Sottospazi topologici. Spazi secondo numerabili. Spazi primo numerabili. Spazi separabili. Spazi topologici linearmente ordinali. La retta di Sorgenfrey come sottospazio di uno spazio topologico linearmente ordinato.
2. "Gli assiomi di separazione."
Gli assiomi di separazione Ti, con i=0,1,2,21/2, 3,31/2, 4,5,6. Proprietà, caratterizzazioni, esempi e controesempi.
3. "Prodotti e quozienti."
Topologie definite mediante famiglie di funzioni. Prodotto di spazi topologici. Prodotto di una famiglia infinita di spazi. Spazi quoziente. La circonferenza, il cilindro, il toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Kleine, gli spazi proiettivi reale e complesso come rappresentazione di spazi quoziente.
4. "Spazi connessi e connessi per archi."
Definizione, esempi e prime proprietà. Il prodotto di spazi connessi è connesso se e solo se lo sono tutti gli spazi fattore. Teorema del valore intermedio. Teorema del punto fisso. Teorema di Borsuk-Ulam. Componente connessa di x in X. Spazi totalmente sconnessi. Spazi connessi per archi. Un aperto di R^n è connesso se e solo se è connesso per archi. Il prodotto di spazi è connesso per archi se e solo se lo solo tutti gli spazi fattori. Il seno del topologo.
5. "Spazi compatti."
Definizione, esempi e caratterizzazione della compattezza mediante famiglie di sottoinsiemi con la proprietà dell’intersezione finita. Ogni spazio compatto di Hausdorff è normale. I sottospazi compatti della retta reale sono tutti e solo i sottospazi chiusi e limitati.Teorema di Kuratowski. Teorema di Heine-Borel. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Un sottospazio di R^n è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Teorema di Tychonoff.
Topologia prodotto box. Teorema di immersione. Uno spazio X è completamente regolare se e solo se esiste uno spazio compatto di Hausdorff avente un sottospazio omeomorfo a X. Teorema di metrizzazione di Alexandroff-Urysohn. Compattificazioni di uno spazio. Uno spazio è compattificabile se e solo se è completamente regolare. Ordinameto parziale sull’insieme di tutte le compattificazioni di uno spazio di Tychonoff. Spazi localmente compatti. La compatificazione di Aleksandrof e la compattificazione di Stone-Cech. La compattificazione di Aleksandrof della retta reale, di Rn, dell’iperbole equilatera e della parabola. Teorema di Stone. Spazi metrici completi. Spazi metrici totalmente limitati.
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Corsi
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MATEMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
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